简单粗暴地理解椭圆曲线算法（Elliptic Curve Cryptography）。
首先，绘制一个扭曲的曲线。然后在这个曲线上定义一种名为加法的运算：
1. P 点和 Q 点相加: 绘制直线 PQ，得到和曲线的第三交点为 R，R 的 x 轴镜像点为结果。
2. P 点自己和自己相加: 绘制 P 点的切线，得到和曲线的交点 R，其镜像点为结果。
3. 定义零值为 y 轴的无穷远处，和零相加等于画一条垂直线。
如上我们定义了运算规则，接下来就是从曲线的点中选取一些点构成一个循环群。群就是一组满足相同规律的数的集合。循环群（cycle group）中存在一些本原元（primitive element），这些原元通过不断累加，可以遍历整个群。
形象地说，你找到一个本原元点（primitive element），然后不断地累加这个点，利用前文我们所介绍的加法运算，你其实就是在曲线上不断地跳跃，并最终会跳回起点。
ECC 加密算法中，就是构建这么一个曲线，它的循环群内的成员数量达到 2^100 次方，我们认为这个量级的数是无法靠暴力遍历破解的。这个曲线的每一个值是根据一个大素数的模的方程构建的，成员数量约等于这个素数的位数，一个 160-bits 的素数可以构建一个包含 2^160 个点的群。
然后给出这么一个公式
也就是说，我公开展示最终的 T 点，但是不告诉你我跳跃了多少次。你是难以通过暴力遍历去求解 d 的。这个
既然利用 ECC 构建了 DLP，那么就可以利用 ECC 替换传统 DLP 问题，比如 Diffie-Hellman 密钥交换算法，现在可以重构为基于 ECC 的 ECDH 算法。
Alice 和 Bob 都确认一个曲线和一个 primitive element P。然后双方各自生成一个 d，然后交换计算结果 dP。拿到对方的 dP 后再乘上自己的 d，就会得到一个相同的 T。窃听者能拿到曲线、P、d_alice*P 和 d_bob*P，但是他无法逆向求解 d_alice 和 d_bob，所以无法破解最终的 T。
PS: 所有的 DHKX 算法，都难以防御中间人攻击（MITM attack），即攻击者可以篡改通信，同时和双方握手。解决办法是引入数字证书，对对方的公钥进行签名。
PS: 安全的椭圆曲线是很难绘制的，一般参考 NIST 的推荐。 #crypto
next: https://t.me/laiskynotes/173
首先，绘制一个扭曲的曲线。然后在这个曲线上定义一种名为加法的运算：
1. P 点和 Q 点相加: 绘制直线 PQ，得到和曲线的第三交点为 R，R 的 x 轴镜像点为结果。
2. P 点自己和自己相加: 绘制 P 点的切线，得到和曲线的交点 R，其镜像点为结果。
3. 定义零值为 y 轴的无穷远处，和零相加等于画一条垂直线。
如上我们定义了运算规则，接下来就是从曲线的点中选取一些点构成一个循环群。群就是一组满足相同规律的数的集合。循环群（cycle group）中存在一些本原元（primitive element），这些原元通过不断累加，可以遍历整个群。
形象地说，你找到一个本原元点（primitive element），然后不断地累加这个点，利用前文我们所介绍的加法运算，你其实就是在曲线上不断地跳跃，并最终会跳回起点。
ECC 加密算法中，就是构建这么一个曲线，它的循环群内的成员数量达到 2^100 次方，我们认为这个量级的数是无法靠暴力遍历破解的。这个曲线的每一个值是根据一个大素数的模的方程构建的，成员数量约等于这个素数的位数，一个 160-bits 的素数可以构建一个包含 2^160 个点的群。
然后给出这么一个公式
dP = T。P 是一个 primitive element，它累加 d 次后会得到 T 点。P、T 是公钥，d 是私钥。这也是为什么 ECC 的私钥可以很短。也就是说，我公开展示最终的 T 点，但是不告诉你我跳跃了多少次。你是难以通过暴力遍历去求解 d 的。这个
dP = T 就是构建了一个离散对数问题（DLP），计算 dP 很简单，但是逆运算求算 d 很复杂，需要暴力搜索 2^100 的空间。既然利用 ECC 构建了 DLP，那么就可以利用 ECC 替换传统 DLP 问题，比如 Diffie-Hellman 密钥交换算法，现在可以重构为基于 ECC 的 ECDH 算法。
Alice 和 Bob 都确认一个曲线和一个 primitive element P。然后双方各自生成一个 d，然后交换计算结果 dP。拿到对方的 dP 后再乘上自己的 d，就会得到一个相同的 T。窃听者能拿到曲线、P、d_alice*P 和 d_bob*P，但是他无法逆向求解 d_alice 和 d_bob，所以无法破解最终的 T。
PS: 所有的 DHKX 算法，都难以防御中间人攻击（MITM attack），即攻击者可以篡改通信，同时和双方握手。解决办法是引入数字证书，对对方的公钥进行签名。
PS: 安全的椭圆曲线是很难绘制的，一般参考 NIST 的推荐。 #crypto
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